Géométrie spectrale - Nalini Anantharaman

Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 Colloque - Géométrie et spectre des grands objets - Michael Magee : Strong Convergence of Unitary Representations Michael Magee Durham University In the past few years the notion of "strong convergence" of multi-matrix models has found applications across pure mathematics including to random graphs, operator algebras (in several ways), spectral theory of hyperbolic manifolds, and the theory of minimal surfaces. I will define strong convergence of unitary representations of groups and then discuss the still-mysterious and broad-ranging question of which discrete groups have finite dimensional unitary or "permutation" representations that strongly converge to their regular representation. Based on joint works with W. Hide, L. Louder, D. Puder, M. de la Salle, J. Thomas, R. van Handel.

Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 Colloque - Géométrie et spectre des grands objets - Jean Raimbault : A Priori Bounds for the Homology of Arithmetic Manifolds Jean Raimbault CNRS, Institut de mathématiques de Marseille It is well-known that the Betti numbers of nonpositively-curved manifolds are (under normalisation of curvature and some additional assumptions) linearly bounded by their volume. In a joint work with M. Frączyk and S. Hurtado we showed that for the sub-class of arithmetic locally symmetric spaces similar bounds hold for torsion homology. In most cases we also obtain sublinear bounds for the Betti numbers on terms of the volume. The main tools for both results are geometric, and i will explain our main technical result, a stronger version of the Margulis lemma specific to arithmetic manifolds.

Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 Colloque - Géométrie et spectre des grands objets - Ramon van Handel : The Polynomial Method Ramon van Handel Princeton University The polynomial method is a recent approach for establishing optimal spectral gaps that has led to new progress on various problems surrounding spectral gaps of random graphs and hyperbolic surfaces, and strong convergence of group representations. My aim in this talk is to explain in a general setting how and why this method works.

Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 Colloque - Géométrie et spectre des grands objets - Alice Guionnet : About Non-Commutative Entropy and Topology Alice Guionnet CNRS, École normale supérieure de Lyon In the 1990s, Voiculescu developed the theory of non-commutative entropy. For a single non-commutative variable, this entropy reduces to the rate function of the empirical measure of the eigenvalues of a Gaussian matrix. For several non-commutative variables, such a principle of large deviations, concerning the joint moments of Gaussian matrices, is not completely established. The topology used is that of the weak topology of non-commutative laws. This topology is not adequate for studying matrices whose coefficients have heavy tails and which typically have a finite number of non-zero coefficients per row or column. To overcome this shortcoming, Camille Male introduced traffics and the corresponding topology. I will discuss the associated entropy introduced in a recent article with Charles Bordenave and Camille Male, as well as the relationship between the topology of traffics and Benjamini and Schramm topology.

Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 Colloque - Géométrie et spectre des grands objets - Bram Petri : Bass Notes of Closed Arithmetic Hyperbolic Surfaces Bram Petri Sorbonne Université The spectral gap (or bass note) of a closed hyperbolic surface is the smallest non-zero eigenvalue of its Laplacian. This invariant plays an important role in many parts of hyperbolic geometry. The talk will start with a brief introduction to the (spectral) hyperbolic surfaces and some of the general motivation for the subject. After that, I will speak about joint work with Will Hide on the question of which numbers can appear as spectral gaps of closed arithmetic hyperbolic surfaces.

Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 Colloque - Géométrie et spectre des grands objets - Nicolas Raymond : De l'effet tunnel magnétique Nicolas Raymond Université d'Angers Tout au long de cet exposé, il sera question d'effet tunnel dans le cadre de l'équation de Schrödinger avec champ magnétique. Nous évoquerons d'abord les travaux d'Helffer et Sjöstrand des années quatre-vingts dans le cas des potentiels électriques, ainsi que leurs reviviscences relativement récentes. Puis, nous explorerons les travaux menés depuis plus de dix ans – notamment avec V. Bonnaillie-Noël, S. Fournais, Y. Guedes Bonthonneau, F. Hérau, L. Morin et S. Vũ Ngọc – dans un contexte purement magnétique. Au cœur de l'exposé, nous considérerons le laplacien magnétique en dimension deux. Sous l'hypothèse que le champ magnétique est intense et possède un double puits générique, nous exhiberons une formule asymptotique explicite révélant que l'écart entre les deux plus petites valeurs propres est exponentiellement petit, mais non nul. Nous expliquerons également comment la célèbre dynamique centre-guide permet de franchir quantiquement, par effet tunnel, une barrière magnétique. Nous montrerons les premières approximations exponentiellement précises des fonctions propres dans la zone classiquement interdite par les variations du champ magnétique. De façon adventice, nous soulignerons les différences essentielles entre les effets électriques et magnétiques.

Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 Colloque - Géométrie et spectre des grands objets - Kohei Suzuki : Interacting Brownian Motions, Wasserstein Gradient Flow and Ricci Curvature Bound Kohei Suzuki Durham University In this talk, we focus on an infinite-dimensional model of repulsively interacting Brownian motions: Dyson Brownian motion (DBM) at soft-edge scaling. It is known that its stationary process is the Airy line ensemble, a collection of non-intersecting random curves linked to many models in the KPZ universality class. We show that its time-marginal law is characterised as a Wasserstein steepest gradient descent of the relative entropy in the space of probability measures over the configuration space — an infinite-dimensional analogue of Jordan-Kinderlehrer-Otto/Ambrosio-Gigli-Savaré theory. From a metric-geometric viewpoint, our result shows that the configuration space endowed with invariant measure of the DBM (i.e., Airy_2 point process) is an RCD space, a space having a uniform Ricci curvature lower bound in the sense of Lott-Villani/Sturm and Gigli. As an application, we establish various new functional inequalities (e.g., HWI, distorted Brunn-Minkowski, dimension-free Harnack) for the model. Furthermore, we discover the new phenomenon that the time-marginal law exhibits number rigidity in the sense of Ghosh and Peres (i.e., the number of particles inside a box is determined by the configuration outside), revealing a formation of a random crystal-like structure by the DBM. This talk is based on arXiv:2509.06869.

Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 Colloque - Géométrie et spectre des grands objets - Nicola Gigli : De Giorgi and Gromov Working Together Nicola Gigli SISSA, Trieste Résumé I shall give an overview of basic definitions and results related to weak convergence of manifold/spaces with Ricci curvature bounded from below. A main message I want to convey is that in this situation not only we have spectral convergence, but in fact full convergence of the heat flow. The key underlying notions of convergence here are De Giorgi's Gamma-convergence of lower semicontinuous functionals and Gromov's convergence of geometric structure.

Nalini Anantharaman Chaire Chaire Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 09 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Travaux de Haagerup–Thorbjørnsen sur la convergence spectrale forte des matrices gaussiennes II Résumé On démontre que la transformée de Stieltjes des matrices aléatoires hermitiennes NxN est point fixe d'une certaine transformation (à N^{-2} près).

Nalini Anantharaman Chaire Chaire Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 08 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Travaux de Haagerup–Thorbjørnsen sur la convergence spectrale forte des matrices gaussiennes

Nalini Anantharaman Chaire Chaire Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 07 - Convergences de spectres et notes fondamentales : La méthode polynomiale Résumé Cet exposé présente les principales idées de la « méthode polynomiale » de Chen--Garza-Vargas--Tropp--Van Handel pour démontrer la convergence spectrale forte.

Nalini Anantharaman Chaire Chaire Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 06 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Convergence spectrale forte : fin de la preuve de Friedman, introduction à la méthode polynomiale. Travaux de Haagerup–Thorbjørnsen pour les matrices gaussiennes

Nalini Anantharaman Chaire Chaire Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 05 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Convergence spectrale forte : preuve de Friedman de la conjecture d'Alon II

Nalini Anantharaman Chaire Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 04 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Convergence spectrale forte : preuve de Friedman de la conjecture d'Alon Résumé Après avoir terminé d'énoncer les conséquences de la convergence au sens de Benjamini et Schramm pour des suites d'espaces métriques mesurés, nous nous tournons vers la notion de convergence spectrale forte. Les prochaines séances seront consacrées au cas des modèles de graphes réguliers aléatoires et à la démonstration par Joel Friedman de la convergence spectrale forte presque sûre.

Nalini Anantharaman Chaire Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 03 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Convergence au sens de Benjamini et Schramm

Nalini Anantharaman Chaire Géométrie spectrale Année 2025-2026 Collège de France 02 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Notions de convergences géométriques et spectrales II

Nalini Anantharaman Chaire Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 01 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Notions de convergences géométriques et spectrales I

Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2024-2025 Colloque - Géométries aléatoires et applications - Yilin Wang : The Brownian Loop Measure on Riemann Surfaces and Applications to Length Spectra Intervenant : Yilin Wang IHES Résumé The goal of this talk is to showcase how we can use stochastic processes to study the geometry of surfaces. More precisely, we use the Brownian loop measure to express the lengths of closed geodesics on a hyperbolic surface and zeta-regularized determinant of the Laplace-Beltrami operator. This gives a tool to study the length spectra of a hyperbolic surface and we obtain a new identity between the length spectrum of a compact surface and that of the same surface with an arbitrary number of additional cusps. This is a joint work with Yuhao Xue (IHES).

Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2024-2025 Colloque - Géométries aléatoires et applications - Jérémie Bouttier : Sur l'énumération des cartes à bords géodésiques On the Enumeration of Maps with Geodesic Boundaries Intervenant : Jérémie Bouttier Sorbonne Université Résumé Les cartes combinatoires sont des surfaces discrètes obtenues par recollement de polygones. Les premiers résultats d'énumération les concernant ont été obtenus par Tutte dans les années 1960. Au cours des années 1980-90, elles ont été très étudiées en physique théorique (sous divers vocables : diagrammes planaires, graphes-ruban...) en raison de leurs liens avec la gravité quantique bidimensionnelle et les modèles de matrices. Enfin, depuis les années 2000, de nouvelles approches combinatoires et probabilistes ont conduit à d'importants développements. Après avoir donné un aperçu de cette longue histoire, j'évoquerai quelques résultats obtenus en collaboration avec Emmanuel Guitter et Grégory Miermont, sur l'énumération des cartes à bords géodésiques. Ceux-ci suggèrent une analogie avec la géométrie hyperbolique, déjà observée dans d'autres contextes, dont notamment la récurrence topologique. Nous aimerions parvenir à une explication « bijective » de cette analogie.

Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2024-2025 Colloque - Géométries aléatoires et applications - Thierry Lévy : Volume de l'espace des modules de connexions plates, d'après Witten Volume of the Moduli Space of Flat Connections, After Witten Intervenant : Thierry Lévy Sorbonne Université Résumé Dans cet exposé, je présenterai la manière dont Witten a calculé, au début des années 1990, le volume symplectique de l'espace des modules de connexions plates sur un fibré principal au-dessus d'une surface compacte sans bord. L'idée principale de Witten était d'approcher la mesure de Liouville sur l'espace des connexions plates par une mesure sur l'espace de toutes les connexions (modulo tranformations de jauge), la mesure de Yang—Mills non normalisée, dont il est "facile" de calculer le volume, en tout cas à un certain niveau heuristique.